(一)投资性商品资产的期货价格
对投资目的的商品资产而言,持有者在持有期间会产生一定的存储成本,可以将存储成本看作是一个负收入。假如U 是期货合约有效期内所有存储成本的现值,期货价格为:
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F >(S +U) erT,套利者以无风险利率借入金额为 S +U 的资金,用来购买一单位的商品和支付存储成本,同时卖出一单位商品的期货合约,在时刻T 可以得到套利收益 F -(S +U) erT,同样 F <(S +U) erT 也不会维持很久。
若任何时刻的存储成本与商品的价格成一定的比例,存储成本可以看作是负的红利收益率。
F0=S0 e (r+u)T
这里,u 是每年的存储成本与现货价格的比例。
(二)消费性商品资产期货价格
对消费目的的商品来说,公司或者个人保留商品的库存主要是因为其有消费价值,而非投资价值。所以, 当期货价格偏低时可能也不会积极主动的出售商品,买进期货合约,这种情况下,Fo<(S0+U) erT 可能继续存在。
因此,对于消费目的的商品,套利讨论只能给出期货价格的上限,即:
存储成本用现货价格的比例u 来表示,则有:
F0≤S0 e (r+u)T
消费品可以起到满足生产所需的作用,可以用商品的便利收益率( Convenience Yield)来表示。如果存储成本可知,且现值为 U,便利收益率可定义为满足下式的 y:
若每单位的存储成本为现货价格的固定比例 u,则 y 定义为; ,
F0 erT =S0 e (r+u)T
即:
F0 =S0 e (r+u-y)T
便利收益率反映了市场对未来商品可获得性的预期。在期货合约有效期间,商品短缺的可能性越大,则便利收益就越高。
(三)资产的期货价格
期货价格和现货价格之间的关系可用持有成本( Cost of Carry)假说来描述。持有成本是持有某项资产直至到期日发生的成本,等于存储成本加上融资购买资产所支付利息,再减去该资产收益。c 表示成本因子。
1. 对不支付红利的股票既无存储成本,又无收益,持有成本就是利息占用,持有成本因子为 r,因而其远期合约或期货合约的理论价格为:
F0 =S0 ecT =S0 e rT
2. 对股票指数而言,大部分指数可以看成支付红利的投资资产。红利就是该组合的持有人收到的红利。
F0 =S0 ecT =S0 e (r-d)T
3. 对货币而言,假定 S0 代表以本币表示的一单位外汇的即期价格。外汇的持有人能获得货币发行国的无风险利率 r 的收益(假如持有人能将外汇投资于以该国货币标价的债券),设 rf 为外汇的无风险利率,则持有成本因子为 r-rf,因而其远期或期货的理论价格为:
F0 =S0 ecT =S0 e (r- rf)T
这就是国际金融领域著名的利率平价关系。
4. 对投资性商品而言,若其存储成本与价格比例为 u,则持有成本因子为 r+u,远期或期货的理沦价格为:
F0 =S0 ecT =S0 e (r+u)T
5. 对消费型商品资产而言,同样引进 y 表示便利收益率,则持有成本因子为c-y,远期或期货的理论价格为:
F0 = S0 e (c-y)T